传递函数概念的适用范围限于线性常微分方程系统.当然,在这类系统的分析和设计中,传递函数方法的应用是很广泛的.下面是有关传递函数的一些重要说明(下列各项说明中涉及的均为线性常微分方程描述的系统).

    1. 系统的传递函数是一种数学模型,它表示联系输出变量与输入变量的微分方程的一种运算方法.

    2. 传递函数是系统本身的一种属性,它与输入量或驱动函数的大小和性质无关.

    3. 传递函数包含联系输入量与输出量所必需的单位,但是它不提供有关系统物理结构的任何信息(许多物理上完全不同的系统,可以具有相同的传递函数,称之为相似系统).

    4. 如果系统的传递函数已知,则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应,以便掌握系统的性质.

    5. 如果不知道系统的传递函数,则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法,确定系统的传递函数.系统的传递函数一旦被确定,就能对系统的动态特性进行充分描述,它不同于对系统的物理描述.

    6. 用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数学模型,说明如下

    种表示方式为:

    第二种表示方式也叫零极点增益模型,具体形式为:

　　1、传递函数是一种数学模型,与系统的微分方程相对应。

　　2、是系统本身的一种属性,与输入量的大小和性质无关。

　　3、只适用于线性定常系统。

　　4、传递函数是单变量系统描述,外部描述。

　　5、传递函数是在零初始条件下定义的,不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。

　　6、一般为复变量 S 的有理分式,即 n ≧ m。且所有的系数均为实数。

　　7、如果传递函数已知,则可针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应。

　　8、如果传递函数未知,则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法,确定系统的传递函数。

　　9、传递函数与脉冲响应函数一一对应,脉冲响应函数是指系统在单位脉冲输入量作用下的输出。

　　1．频率归一化

　　在设计滤波器的传递函数和研究滤波器的幅频特性近似问题时，为了简化计算，使计算规格化和通用化，通常采用频率归一化的处理方法。所谓频率归一化，是将传递函数复频率s＝α十jω除以基准角频率ωλ，得到归一化复频率

　　对于低通、高通滤波器，一般采用截止角频率（1），作为基准角频率；对于带通、带阻滤波器，一般采用中心角频率00作为基准角频率。在用波特图描述滤波器的幅频特性时，通常横坐标用归一化频率Ω代替ω。

　　2．传递函数的幅度近似

　　在设计、研究滤波器时，通常是按通频带分类，分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器。在这4种滤波器中，常将低通滤波器作为设计滤波器的基础，高通、带通、带阻滤波器传递函数可由低通滤波器传递函数转换过来，因此，低通原型传递函数的设计是其他传递函数设计的基础。

　　如图1所示为理想低通滤波器的幅频特性。但是这种理想的幅频特性不可能采用有限个元件组成的网络来实现，只能采用一个有理函数来近似实现。因此，需要对滤波器的幅频特性提出一个允许的变化范围，如通带增益波动范围、阻带必须达到的衰减、过渡带带宽和衰减特性等，如图2所示为幅度近似的低通幅频特性。寻找一个合适的有理函数来满足对滤波器幅频特性提出的要求，寻找这个合适的有理函数即是滤波器的幅度近似。

　　图１理想低通滤波器的幅频特性幅度近似的方式有两类。

　　图２ 幅度近似的低通幅频特性

　　滤波器的幅度近似

　　①最平幅度近似，也称为泰勒近似，这种幅度近似用了泰勒级数，其幅频特性在近似范围内呈单调变化。

　　②等波纹近似9也称切比雪夫近似，这种幅度近似用了切比雪夫多项式，其幅频特性呈等幅波动。

　　在通带和阻带内可分别采用这两种幅度近似方式，组合起来有4种幅度近似的方法，并有4种滤波器，分别是：巴特沃思滤波器、切比雪夫滤波器、反切比雪夫滤波器和椭圆函数滤波器。如图3所示为这4种幅度近似低通滤波器的幅频特性曲线。

　　图3种幅度近似低通滤波器的幅频特性曲线

　　一个n阶低通滤波器，其频率归一化的传递函数通式为

　　式中，K2（Ω）＝B1Ω2十B2Ω4＋…＋BnΩ2n为幅度近似方法的特征函数。采用不同的近似方法，Κ（Ω）为不同的多项式。

　　所有DAC都会表现出一定程度的谐波失真，谐波失真是用来衡量当DAC输入端采用一个理想的均匀采样正弦波的数值序列驱动时，其输出端能在多大程度上再现这个理想的正弦波。由于DAC的瞬态和静态特性并不理想，因此输出频谱将会包含谐波成分。DAC的瞬态输出特性包括压摆率限制、非对称上升和下降时间、有限建立时间。静态特性与传递函数偏离直线的程度有关。本文将重点讨论静态特性，并阐述一种由输出频谱中观察到的谐波成分导出DAC传递函数的方法。分析中假设，传递函数而非瞬态输出特性是所观察到的谐波失真的主要来源。此假设在低频时成立。

　　DAC传递函数

　　图1显示一个理想的DAC传递函数，它是一条斜线，y=mx+b。数字输入位于x轴，模拟输出位于y轴。

图1. 理想的DAC传递函数。

　　x轴上的目标范围是从左边的最小码(A)到右边的码(B)。y轴上的目标范围是从底部的最小输出值(C)到接近顶部的输出值(D)。定义理想传递函数的斜率(m)和y轴截距(b)的方程式用边界值A、B、C、D表示。信号g(t)代表一个无失真的正弦波，由A至B范围内的数字输入组成，时间轴向下。信号u(t)代表模拟输出，其值在C至D范围内，时间轴向右。

　　输出信号是通过传递函数反射的输入信号。请注意，输出信号是将g(t)上各点链接到u(t)上相应点的结果。图1显示在特定时间点t=tk的传递操作例子，该时间点确定输入信号上的点g(tk)。传递函数进而将g(tk)链接到输出信号上的相应点u(tk)。对于理想的线性传递函数，u(t)与g(t)成比例关系。请注意，g(tk)对应于x轴上的点xk，它通过传递函数反射至y轴上的点yk。借助关于耦合点集(g(tn),u(tn))的已有知识，可以确定传递函数上的相关点(xn,yn)。因此，通过输入信号g(t)上的点与输出信号u(t)上的点之间的关系，完全可定义传递函数。

　　对于N位DAC，边界值A和B取特定值，即A = 0且B = 2N–1。而为了方便起见，指定边界值C和D为C = A且D = B。这样意味实际DAC输出信号的比例和偏移，因而其峰峰值范围为0至2N–1。利用A、B、C、D的这些值，因为斜率m = 1且截距b = 0，所以理想传递函数可简化为y = x。

　　到目前为止，讨论的重点还是理想的DAC传递函数，但现在我们有了可以处理失真DAC传递函数f(x)的工具，如图2所示。需要注意的主要特点是：传递函数不再是直线y = x，而是一个形状函数f(x)；图中随意以平滑弧形来表示。f(x)对输出函数u(t)的影响也同样重要。理想输入g(t)通过传递函数f(x)反射，产生失真输出u(t)。与现成DAC的传递函数相比，图中所示的弧形传递函数较为夸张，仅为加强说明效果而已。现代DAC的传递函数与理想的直线几乎没有偏差，但即使最微小的偏差也会导致输出频谱中出现谐波杂散。

图2. 失真的DAC传递函数。

　　能否成功重构DAC传递函数，取决于是否能通过已知的g(t)和u(t)确定各点(xk,f(xk))。这一过程分为两步：首先采用一个代表理想采样正弦波的数值序列驱动DAC输入，利用频谱分析仪测量DAC输出，并记录基波信号和尽可能多谐波成分的幅值；然后将测得的谐波幅值转换为特定形状的传递函数。如果操作得当，将g(t)代入f(x)仿真u(t)将产生与测量结果相同的谐波失真值。

　　步：测量DAC谐波

　　步需要一个输入序列，用来代表一个以等距时间间隔采样的理想正弦波周期。目标是重构DAC传递函数，因此从0到2^N–1的每个DAC码必须在输入信号中至少出现一次。输入序列需要2^N以上的采样点才能以等距间隔使用每个DAC码，实际上至少需要2^N+3个采样才能保证每个码都出现。下式可产生2K DAC码的理想正弦序列(K ≥ N+3)。函数round{x}将x舍入为最近的整数。

　　其中n=0,1,2,3, ... 2K–1

　　此方程式假设DAC将标准二进制格式的数字输入字解码为0至2^N–1范围内的无符号整数。对于偏移二进制或二进制补码DAC，必须调整gn以表示负值。

　　数值序列(g_n)以采样速率f_s重复提供给DAC，因此DAC输出频谱含有频率f₀=f_s/2^k的基波信号。谐波出现在2f₀、3f₀、4f₀和f₀的其它整数倍。由于DAC输出频谱具有采样性质，因此这些谐波的幅度受sin(x)/x响应的限制。不过，f₀与f_s相比微不足道，因此sin(x)/x响应实际上是平坦的，可忽略不计。例如，对于一个8位DAC，K ≥ 11且f₀ ≤ f_s/2048，100次谐波的sin(x)/x将不超过0.39% (0.034 dB)。

　　为了准确重构传递函数f(x)，需要根据谐波数(h)集尽可能记录更多谐波的幅值。这些整数从h = 1（基波频率）至h=H，其中H表示取测量幅值的谐波数。例如，对于10次谐波的测量，H = 10，该谐波数集为h={1, 2, 3, .. 10}。

　　然后，将各测量谐波的幅值(M)与其谐波数关联。例如，M1是1次谐波（基波）的幅值，M2是2次谐波的幅值，依此类推至MH。谐波幅值通常用相对于基波幅值的分贝数(dBc)来衡量。dBc转换为线性单位的公式如下：

　　其中D表示测得的谐波幅值，单位为dBc。例如，如果3次谐波的幅值为–40 dBc，则线性幅值M3 = 10–40/20或0.01。M1始终等于1，因为根据定义，基波的幅值为0 dBc。

　　第二步：重构DAC传递函数

　　该过程的第二步涉及到将谐波测量结果与传递函数相关。f(x)上的点取决于g(t)和u(t)上对应点之间的关系，因此首先必须将频域中的谐波幅值转换到时域。请注意，组成g(t)的DAC码与g(t)正弦形式的相关时间点一一对应。因此，构成g(t)的DAC码与时域相关。此外，u(t)通过f(x)与g(t)相关，而g(t)是一个时域函数，因此u(t)也必须表示为时域函数。这样就能将g(t)中的各时间点tk链接到u(t)中的相关时间点，从而由g(t)和u(t)确定f(x)。

　　将谐波幅值转换到时域非常困难，因为f(x)必须明确与g(t)中的各可能DAC码（0至2^N–1）相关。g(t)是一个理想正弦波，因此确保性的方法是将范围限制在该正弦波单调增加的位置，如图3加粗部分所示。如果没有这一限制条件，f(x)上的一个点可能会映射到g(t)上的两个点，从而导致不明确。

　　为演示这种不定性，请想象将区间T向下移动。现在，f(x)上的点(xk, fkxk))可以与g(t)上的两个点相关，这是不可接受的。将范围T限制在图中所示位置，将不存在不定性。g(t)为正弦波，因此所需范围T对应于½周期，其初始相位偏移为3π/2弧度。

图3. f(x)与g(t)之间的关系。

　　g(t)的范围受T限制意味着u(t)也具有类似的范围限制。因此，将所记录的谐波幅值转换到时域时，必须确保将u(t)限制在与g(t)相同的范围T，如图4所示。

图4. g(t)和u(t)的时域范围。

　　请注意，实际的时间范围T无关紧要，因为f(x)仅在g(t)和u(t)二者的幅值之间起转换作用。为简化分析，将基波频率(f0)归一化为1。因此，2次谐波的频率为2，3次谐波的频率为3，如此类推。所以，谐波频率与谐波数(h)相等：f_h=h。这一便捷关系可简化从谐波测量结果Mh创建u(t)的数学计算。

　　正弦波的一般时域表达式为：

　　其中β为峰值振幅，θ为初始相位偏移。

　　用h代替f，并用M_h代替β，可以获得各谐波u_h(t)的时域表达式。不过应记住，g(t)偏移3π/2弧度。此外，g(t)与u(t)之间通过f(x)关联意味着g(t)和u(t)在相位上是对准的。用3π/2代替θ可提供所需的对准。下式中，请注意0 ≤ t < 1且π取代了2π，目的是将基波限制在范围T所表示的半个周期：

　　利用各谐波u_h(t)的时域表达式，便可以重构复合输出u(t)，表示为基波和谐波信号的和：

　　如前所述，我们的目标是将g(t)与u(t)相关以重构DAC传递函数f(x)。此外，g(t)必须恰好由2N个样本组成，以便与f(x)上的点一一对应。因此，g(t)的样本计算公式为：

　　(n=0,1,2,3 .. 2^N–1)

　　g(t)由2N个样本组成，因此由包括2N个采样的u(t)采样值集重构f(x)似乎是合理的。然而，事实却是至少需要2N+3个采样才能为较小的Mh值提供适当的精度。这种情况下，u(t)各采样点的计算公式应如下：

　　(n=0,1,2,3 .. 2^N+3–1)

　　请注意，这将导致u(t)所含的采样数多于g(t)，u(t)的多个样本可能与f(x)和g(t)上的一个点对应，从而使u(t)和g(t)到f(x)的映射关系复杂化。因此，必须对特定的样本组求平均值，以便提供到f(x)的合理映射。下面的伪代码反映了所需的映射关系，其中假设使用一个N位DAC，g(t)有2^N个点，u(t)有2^N+3个点。阵列DacXfr含有2N个元素，初始值均为0。执行该代码后，阵列DacXfr的元素包含归一化的DAC传递函数。

　　n = 0

　　FOR i = 0 TO 2N–1

　　AvgCnt = 0

　　WHILE i = g[n]

　　AvgCnt = AvgCnt + 1

　　DacXfr[i] = DacXfr[i] + u[n]

　　n = n + 1

　　IF n >= 2N+3

　　EXIT WHILE

　　END IF

　　END WHILE

　　IF AvgCnt = 0

　　EXIT (fail because array, g[ ], is missing a DAC code)

　　END IF

　　DacXfr[i] = (DacXfr[i]/AvgCnt)/2N

　　END FOR

　　验证

　　为验证本文所述的方法，使用一台频谱分析仪来测量一个14位DAC的输出；该DAC由一个代表理想正弦波的输入序列驱动。记录了前14次谐波的幅值（2次到15次，单位dBc），并利用这些值重构DAC传递函数f(x)。然后，将理想正弦输入序列g(t)代入重构的DAC传递函数f(x)进行模拟，产生一个输出序列。一个FFT将u(t)转换为频域等效值U(ω)。从U(ω)提取谐波幅值，并将其与频谱分析仪的测量结果相比较，如表1所示。请注意，与7次谐波相关的误差仅为0.065 dB。

　　由于比例关系，重构传递函数的图形呈现为一条直线(y = x)。事实上，该传递函数与y = x的偏差足以产生表1所示的谐波成分。为帮助理解，图5仅显示了该传递函数与理想直线的偏差。垂直轴的单位为LSB。

图5. DAC传递函数的残差。